График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины
Содержание стр.
Введение……………………………………………………………. 3
I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины 1.1. Основные определения и свойства………………………… 4 1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля…………………………… 5 II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel…………………………………………………. 12 Заключение…………………………………………………. …. 15 Список использованной литературы…………………...…….. 16
Введение
Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.
А. Эйнштейн.
Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования. Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля. Объект исследования: график квадратичной функции. Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Задачи: 1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции. 2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. 3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel. Методы исследования: 1) теоретический (логическая ступень познания); 2) эмпирический (исследование, эксперимент); 3) моделирование. Практическая значимость моей работы заключается: 1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям; 2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.
I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства.
Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у. Способы задания функции: 1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы); 2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы); 3) описательный способ (функция задается словесным описанием); 4) графический способ (функция задается с помощью графика). Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной. График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая , при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией. Координаты вершины параболы определяются по формулам: , .
Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.
. Свойства: 1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е. |а+в| |а|+|в| 2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е. |а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а| 3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е. |а•в|=|а|•|в| 4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.
5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е. |аn|=|a|n.
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
…Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно. А.Н. Колмогоров.
Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов. В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке.
В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.
Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.
Пример 1. Построим график функции у = |х2 – 6х +5|. Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис.1.
Пример 2. Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5. Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).
Рис.2 Пример 3. Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5. Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу у = х2 – 6|х| +5 Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так: 1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу. 2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).
Рис.3
Пример 4. Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5. Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).
Пример 5. Построим график функции у = |х2 – 6х| +5. Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).
Рис.4
Пример 6.
Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции
у = 6х +5 6х + 5 = 0 при . Рассмотрим два случая: 1)Если , то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где . 2)Если , то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).
Рис.5
Пример 7. Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6). Рис.6 Пример 8. Рассмотрим построение графиков вида = f (x). Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля = Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) . Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм. Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x). Построим график функции .
Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно Рис.7
Пример 9. Рассмотрим построение графиков вида Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию Алгоритм построения: 1) Строим график функции . 2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох. 3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8). Рис.8
Выводы: 1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│= 2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента. 3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. 4. График функции можно получить, построив график функции у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика . Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.
Пример 1. Построим график функции у = |х2 – 6х +5|.
Пример 2. Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.
Пример 3. Построим график функции у = |х2 – 6х| +5.
Пример 4. Построим график функции у = х2 - |6х+5|.
Пример 5. Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|.
Пример 6. Построим график функции .
Пример 7. Построим график функции .
Заключение
Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью. Л. Н. Толстой.
Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи. Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│, Для написания данной исследовательской работы 1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции; 2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные; 3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие; При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel. Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы. Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.
Список использованной литературы
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил. 2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967. 3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев. 4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г. 5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с.
