График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины - Изучения - Каталог статей - Персональный сайт
Пятница, 29.08.2014, 15:58
Главная Регистрация Log in
Приветствую Вас, Гость · RSS
Меню сайта
Часы
Категории раздела
Новости [17]
Тезис [16]
Разное [36]
Изучения [71]
Мини-чат
200
Наш опрос
Как по вашему преобразился наш сайт?

Результат опроса Результаты Все опросы нашего сайта Архив опросов

Всего голосовало: 640
Статистика
Кто нас сегодня посетил
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
 Каталог статей
Главная » Статьи » Изучения

График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

Содержание   стр.

Введение……………………………………………………………. 3

I. График квадратичной функции, содержащей переменную
  под знаком абсолютной величины
1.1. Основные определения и свойства………………………… 4
1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей
  переменную под знаком модуля…………………………… 5
II. Построение графика квадратичной функции, содержащей  
  переменную под знаком модуля, в программе 
  Microsoft Excel…………………………………………………. 12
Заключение…………………………………………………. …. 15 
Список использованной литературы…………………...…….. 16

 Введение

Мне приходилось делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. 

  А. Эйнштейн.

Когда в «стандартные» уравнения прямых, парабол, гипербол включают знак модуля, их графики становятся необычными и даже красивыми. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения базовых фигур, а также твердо знать и понимать определение модуля числа. В школьном курсе математики графики с модулем рассматриваются недостаточно углубленно, именно поэтому мне захотелось расширить свои знания по данной теме, провести собственные исследования.
Цель работы – рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Объект исследования: график квадратичной функции.
Предмет исследования: изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
Задачи: 
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
3) Научиться стоить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Excel.
Методы исследования:
1) теоретический (логическая ступень познания);
2) эмпирический (исследование, эксперимент);
3) моделирование.
Практическая значимость моей работы заключается:
1) в использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к другим функциям и уравнениям;  
2)в использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности. 

I. График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины

1.1. Основные определения и свойства.

Функция – одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной у.
Способы задания функции:
1) аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2) табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3) описательный способ (функция задается словесным описанием);
4) графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. 
Функция, определяемая формулой у=ах2+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а 0, называется квадратичной. 
График функции у=ах2+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы у=ах2+вх+с является прямая , при а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. 
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Координаты вершины параболы определяются по формулам: 
 , .

Абсолютной величиной положительного числа называется само положительное число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля принимается равной нулю, т.е.

 .
Свойства:
1) Абсолютная величина суммы чисел не больше суммы абсолютных величин её слагаемых, т.е.
|а+в| |а|+|в|
2) Абсолютная величина разности двух чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е.
|а-в| |а|-|в| или |а-в| |в|-|а|
3) Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей, т.е.
|а•в|=|а|•|в| 
4) Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютных величин делимого и делителя, т.е.
   
5) Абсолютная величина степени с целым положительным показателем равна той же степени абсолютной величины основания, т.е. 
|аn|=|a|n.



1.2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.

Математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.
  А.Н. Колмогоров.


Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. В результате ось Ох разбивается на промежутки. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.
В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке. 

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

Покажем на примерах некоторые приемы построения графиков функций с модулями.
 

Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|. 
Сначала построим параболу у= х2– 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х + 5|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1).

  Рис.1.

Пример 2.
Рассмотрим график функции у = |х|2– 6х +5. 
Т. к. |х| возводится в квадрат, то независимо от знака числа х после возведения в квадрат он будет положительным. Отсюда следует, то график функции у =|х|2 - 6х +5 будет идентичен графику функции у = х2 - 6х +5, т.е. графику функции, не содержащей знака абсолютной величины (Рис.2).


  Рис.2
Пример 3.
Рассмотрим график функции у = х2 – 6|х| +5. 
Воспользовавшись определением модуля числа, заменим формулу  
у = х2 – 6|х| +5 
Теперь мы имеем дело с хорошо знакомым нам кусочным заданием зависимости. Строить график будем так: 
1) построим параболу у = х2 - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2) в той же координатной плоскости построим параболу у = х2 +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х2 - 6|х| +5 (Рис.3).

 

Рис.3

Пример 4.
Рассмотрим график функции у = |х|2 - 6|х|+5. 
Т.к. график уравнения у = |х|2 – 6х +5 такой же, как и график функции без знака модуля (рассмотрено в примере 2) то следует, что график функции у = |х|2 – 6|х| +5 идентичен графику функции у = х2 – 6|х| +5, рассмотренному в примере 3 (Рис.3).
 
Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5. 
Для этого построим график функции у = х2 - 6х. Чтобы получить из неё график функции у = |х2 - 6х|, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси х, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам нужно построить график функции у = |х2 - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х2 - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх (Рис.4).

  Рис.4

Пример 6.

Построим график функции у = х2 - |6х+5|. Для этого воспользуемся хорошо нам известной кусочной функцией. Найдём нули функции 

у = 6х +5
6х + 5 = 0 при .
Рассмотрим два случая:
1)Если , то уравнение примет вид у = х2 – 6х -5. Построим эту параболу и обведём ту её часть, где . 
2)Если , то уравнение принимает вид у = х2+ 6х +5. Постоим эту параболу и обведём ту её часть, которая расположена левее точки с координатами (Рис.5).

 

Рис.5

Пример 7.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. 
Для этого мы построим график функции у =х2- 6|х| +5. Построение этого графика мы проводили в примере 3. Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции у = |х2 – 6|х| +5|, нужно каждую точку графика функции у = х2 – 6|х|+5 с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой, т.е. часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией ей симметричной относительно оси Ох (Рис.6).

  Рис.6
Пример 8.
Рассмотрим построение графиков вида = f (x).
Учитывая, что в формуле = f (x), f (x) , и на основании определения модуля =  
Перепишем формулу = f (x) в виде у= f (x), где f (x) .
Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.
Для построения графиков вида = f (x) достаточно построить график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
Таким образом, график зависимости = f (x) состоит из графиков двух функций: у = f (x) и у = - f (x).  
Построим график функции .

Дальнейшее вставление рисунков и формул технически невозможно
  Рис.7

Пример 9.
Рассмотрим построение графиков вида  
Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика y = │f (x)│, а затем уже и множества точек, координаты которых удовлетворяют условию  
Алгоритм построения:
1) Строим график функции .
2) Часть графика симметрично отображаем относительно оси Ох.
3) Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох (Рис.8).
 Рис.8



Выводы:
1.График функции y = │f (x)│ можно получить из графика y = f (x), оставив на месте ту его часть, где f (x) , и симметрично отразив относительно оси Ох другую его часть, где f (x) < 0. Это следует из равенства │ f (x)│=  
2.График функции y = f (│x│) совпадает с графиком функции y = f (x) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси Оу на множестве отрицательных значений аргумента.
3. График функции = f (x) можно получить, построив график функции у = f (x) для тех х из области определения, при которых f (x) , и отразив полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.
4. График функции можно получить, построив график функции 
  у = f (x) и симметрично отобразив относительно оси Ох часть графика . Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.


II. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, в программе Microsoft Excel.

Пример 1.
Построим график функции у = |х2 – 6х +5|. 

 

Пример 2.
Построим график функции у = х2 – 6|х| +5.
 
Пример 3.
Построим график функции у = |х2 – 6х| +5. 
 

Пример 4.

  Построим график функции у = х2 - |6х+5|.
   
Пример 5.
Построим график функции у = |х2 – 6|х| +5|. 
   
Пример 6.
Построим график функции .

Пример 7.
Построим график функции .
   
Заключение

 Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью.
  Л. Н. Толстой.


Считаем, что в данной исследовательской работе цель достигнута, так как были решены все поставленные задачи.
Нами рассмотрено построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля, и исследованы изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины. Были освоены приёмы построения графиков функций вида: y = f (│x│), y = │f (x)│, y = │f (│x │)│,  
Для написания данной исследовательской работы
 1) была изучена литература о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции;
 2) исследованы и проанализированы изменения при построении графика квадратичной функции, в которой знак модуля содержат различные переменные;
3) построены графики уравнений с использованием программ для построения графиков Graph Master v 1.1, Microsoft Excel и другие;
При написании работы мы пользовались учебной литературой, Интернет-ресурсами, работали в таких программах, как Microsoft Word, Paint, Редактор формул, Microsoft Excel.  
 Тема исследований оказалась очень многогранной, требующей совершенно новых умений и навыков как на этапе исследований, так и при написании и оформлении работы.
 Данный практический опыт работы с программами для построения графиков, для записи математических формул, а также полученные навыки исследовательской деятельности будут использованы нами в дальнейшей учебной деятельности, в том числе при изучении других функций и уравнений с модулем, при построении графиков этих функций.

Список использованной литературы

1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; Под ред. Г. В. Дорофеева. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 352 с.: ил.
2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
5.Элективный курс. Знакомьтесь: модуль! Алгебра. 8-9 классы./ Сост. Баукова Т.Т.-Волгоград: ИТД «Корифей».- 96 с. 

 Интернет – ресурсы

http://festival.1september.ru/articles/504401/
http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=18
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/45426
http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1128423553.html
http://www.sorobr1.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=8&Itemid=41
http://mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/function/kvfunc/kvfunct.htm
http://tvsh2004.narod.ru/alg02.html
http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F






Категория: Изучения | Добавил: antonina (09.06.2009)
Просмотров: 37920 | Комментарии: 6 | Рейтинг: 4.8/8
Всего комментариев: 6
6 по фиг   (09.02.2014 13:27)
ну и лалки

5 света   (30.01.2013 10:18)
капец мне надо в экселе а не так!!!((((((

4 antonina   (10.09.2009 15:17)
Вануи и Мариам, к сожалению, выбыли в другую школу, но хочется пожелать им с сестрой и там успешной работы исследовательского плана!

3 antonina   (09.06.2009 16:48)
Отметим, что обе наши победительницы математических конкурсов и в областных литературных стали тоже призерами!!!

2 Александр   (09.06.2009 14:35)
Ну, девочки, молодцы! Не ожидал от девчонок исследований по математике!

1 Сергей   (09.06.2009 14:34)
Работа впечатляет даже в жестоко урезанном виде! Вануи, продолжай исследования и дальше. Может, еще твои труды будут потом дети исследовать!

Имя *:
Email:
Код *:
Copyright MyCorp © 2014
Мини профиль
Гость

Сообщения:

Группа:
Гости

Гость, мы рады вас видеть. Пожалуйста зарегистрируйтесь или авторизуйтесь!


Поиск
Фотофакт
Друзья сайта
  • Создать сайт
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz
  • Сайт нашей школы
  • Разработки
  • ПроШколу
  • Портал о медицине

  • Превращают неучей в противоположное
    Создать сайт бесплатно
    Интересно!!